6 / 63 · Konsep

Gerbang universal: membangun rangkaian hanya dengan NAND

Tunjukkan kelengkapan fungsi NAND dan NOR melalui konstruksi serta verifikasi sinyal perantara XOR.

Batas makna “semua rangkaian”

NAND dapat membentuk NOT, AND, dan OR, dan setiap fungsi logika kombinasional dengan masukan berhingga dapat dinyatakan melalui operasi tersebut. Dalam arti ini NAND adalah gerbang universal^{Gerbang universal Satu jenis gerbang disebut universal jika pengulangannya dapat membentuk fungsi Boolean apa pun. NAND dan NOR adalah contoh utama.}. Bukan berarti satu NAND menyelesaikan seluruh kebutuhan penyimpanan, clock, pengawatan, dan daya.

\overline a=\operatorname{NAND}(a,a)

ab=\operatorname{NAND}(n,n),\quad n=\operatorname{NAND}(a,b)

a+b=\operatorname{NAND}(\operatorname{NAND}(a,a),\operatorname{NAND}(b,b))

Menghubungkan masukan yang sama ke dua terminal NAND menghasilkan NOT. AND diperoleh dengan satu pembalikan^{Negasi Operasi NOT menukar 0 dan 1. Garis di atas ekspresi menerapkan NOT pada seluruh ekspresi yang dicakupnya. Selengkapnya} tambahan setelah NAND; OR menggunakan hukum De Morgan^{Hukum De Morgan Negasi hasil AND sama dengan OR masukan yang dinegasi; negasi hasil OR sama dengan AND masukan yang dinegasi. Selengkapnya}. NOR juga dapat membentuk NOT dengan menggabungkan masukannya, lalu universalitasnya ditunjukkan dengan konstruksi serupa.

Membentuk XOR dengan empat NAND

Definisikan sinyal perantara sesuai urutan berikut:

n_0=\overline{ab},\quad n_1=\overline{a n_0},\quad n_2=\overline{b n_0},\quad y=\overline{n_1n_2}

a	b	n0	n1	n2	y
0	0	1	1	1	0
0	1	1	1	0	1
1	0	1	0	1	1
1	1	0	1	1	0

Bentuk XOR dengan sinyal antara bersama

NAND pertama: n0 = NAND(a, b)
Dua NAND antara: n1 = NAND(a, n0); n2 = NAND(b, n0)
NAND terakhir: y = NAND(n1, n2)

Dua NAND pada tahap kedua bekerja paralel. Jumlah gerbangnya empat, tetapi jalur logika terpanjang hanya tiga tahap. Pada model sederhana dengan tundaan maksimum 2 ns per gerbang, tundaan maksimum sepanjang jalur adalah 6 ns. Pengaruh beban dan pengawatan nyata harus diperhitungkan tersendiri.

Bandingkan hasil empat NAND dengan XOR

XOR · Tabel kebenaran
a	b	y
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	0

Isi keempat baris tabel sendiri, lalu bandingkan dengan XOR di atas. Kesetaraan fungsi berarti keluaran sama untuk seluruh masukan; bukan berarti jumlah gerbang atau tundaan propagasi^{Tundaan propagasi Waktu sejak masukan berubah hingga keluaran stabil pada nilai benar. Kesetaraan logika berbeda dari karakteristik waktu. Selengkapnya} sama.

Coba sendiri

Tuliskan persamaan NOT dan AND hanya dengan NOR. Berapa jumlah gerbang serta tahap pada jalur terpanjang untuk konstruksi AND?

Baca penjelasan

NOT a=NOR(a,a). AND=NOR(NOR(a,a), NOR(b,b)). Dua pembalik masukan dan satu NOR terakhir berjumlah tiga gerbang; jalur terpanjangnya dua tahap.