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Da tabela-verdade ao MUX e à expansão de Shannon

Derive a seleção por equações e decomponha qualquer função lógica com um MUX.

Derive a regra de seleção

Para produzir a com sel=0 e b com sel=1, multiplique cada entrada por sua condição de seleção e una-as por OR:

y=\overline s a+s b

Substituir $s=0$ deixa a; substituir $s=1$ deixa b. Se a=b, mudar sel não muda a saída. Para detectar erros de seleção, são necessários casos com dados diferentes.

O caminho azul indica a entrada escolhida. Faça a e b diferentes e mude sel. Com valores iguais, fica difícil distinguir uma seleção mal conectada apenas pela saída.

O caminho de dados muda com a seleção

y = sel ? b : a

O MUX é uma decomposição geral de funções

Para uma função booleana F, chame de $F_0,F_1$ as funções parciais ao fixar s em 0 e 1:

F=\overline s F_0+sF_1

Essa é a expansão de Shannon. s ? F1 : F0 divide qualquer função em duas partes. Por exemplo, para $F=a\oplus b$ com seleção a, $F_0=b$ e $F_1=\overline b$ : constrói-se XOR com um MUX^{Multiplexador Circuito combinacional que conecta uma dentre várias entradas à saída conforme um sinal de seleção. É preciso especificar a correspondência entre os bits de seleção e os números das entradas.} e uma inversão^{Negação Operação NOT que troca 0 por 1 e 1 por 0. Uma barra sobre uma expressão aplica NOT a toda a expressão coberta. Saiba mais}.

Seleção 4 para 1 e prioridade

Escolher entre quatro entradas com dois bits pode ser implementado em dois níveis de MUX 2 para 1. Já if (req0) ... else if (req1) ... prioriza a primeira solicitação se várias estiverem ativas. Selecionar por endereço e selecionar por prioridade são problemas diferentes.

SystemVerilog
assign y = sel[1] ? (sel[0] ? d3 : d2)
                 : (sel[0] ? d1 : d0);

Uma árvore balanceada ideal com $2^m$ entradas tem m níveis. O atraso físico também depende da chegada das entradas, da carga e da fiação. A decomposição gera candidatos de implementação; não demonstra atraso ótimo.

Experimente

Expresse $F=a b+\overline a c$ como MUX com a na seleção. Quais são as duas entradas de dados?

Ler a explicação

Com $a=0$ , $F_0=c$ ; com $a=1$ , $F_1=b$ . Portanto, assign f = a ? b : c;. Calcule primeiro as funções parciais para não trocar as entradas das seleções 0 e 1.