Ponto fixo, arredondamento e saturação

Pré-requisitos: larguras de soma e multiplicação signed, deslocamento aritmético à direita e overflow.

Estabeleça a posição fracionária dos bits

Em ponto fixo^{iPonto fixo Representação que fixa previamente a posição do separador fracionário e aplica uma escala constante a uma sequência de bits inteira. É preciso definir largura, sinal e número de bits fracionários.}, o inteiro X representa $x=X2^{-F}$. Não se armazena um «bit de vírgula». Aqui W é a largura signed completa, incluindo o sinal, e F é a quantidade de bits fracionários. A notação Q varia conforme inclua o sinal na parte inteira; indicar W,F na interface evita ambiguidade.

Com W=8,F=4, o passo é 1/16 e o intervalo vai de −8 a 7.9375. 0x18 representa 1.5 nesse contrato, não o inteiro 24; com F=3, representaria 3. Conectar fios não garante coerência numérica: documente a escala de cada porta.

Antes de somar, alinhe as posições fracionárias. Se F diferir, estenda suficientemente o operando de menor F e desloque-o à esquerda, ou reduza o de maior F com o arredondamento escolhido. A soma exata de dois valores com o mesmo W,F exige W+1 bits e o mesmo F. Na multiplicação, multiplicam-se os inteiros raw e somam-se seus bits fracionários:

O produto completo de dois operandos de oito bits F=4 é signed de 16 bits F=8. Para devolver oito bits F=4, reduza quatro bits fracionários e confira depois o intervalo signed de oito bits. Truncar primeiro o produto para oito bits destrói a magnitude de que a saturação precisaria.

Truncamento e arredondamento

Um deslocamento aritmético à direita de d bits calcula $q=\lfloor P/2^d\rfloor$, arredondando para baixo também no caso de valores negativos. Com $P=-24,d=4$, o quociente exato é −1.5 e q=−2, diferente de truncar em direção a zero. Selecionar apenas os bits superiores não tem necessariamente o mesmo comportamento de erro para positivos e negativos.

Vamos projetar arredondamento ao mais próximo com empates para o par. Seja g o bit superior descartado (guard), t a OR dos restantes (sticky) e l o bit inferior do q mantido.

Com g=0, a fração é menor que a metade e q é mantido. Com g=1,t=1, supera a metade e é incrementado. Com g=1,t=0, é exatamente metade e soma-se 1 somente se q for ímpar. A regra também vale para negativos: com o quociente inferior q, o resto $r=P-q2^d$ sempre satisfaz $0\le r<2^d$.

Assim, −24/16=−1.5 arredonda para −2 porque q=−2 é par; −40/16=−2.5 arredonda para −2 porque q=−3 é ímpar. Uma regra adicional de «sempre subtrair 1 dos negativos» seria incorreta. Sem saturação, o erro final não supera meio LSB^{iLSB Bit de menor peso. É preciso conferir em conjunto o sentido da notação e as regras de indexação. Saiba mais} da saída. Empates para o par reduzem o viés de resolver todos os empates para um lado, mas não garantem erro médio zero para toda distribuição.

Na conversão de raw P=2040, 16 bits F=8 para oito bits F=4, 127.5 arredonda para o par 128 e depois é limitado a 127. Preserve a largura ampla até o armazenamento final.

Sature depois de concluir o arredondamento

Saturar limita o valor ao máximo ou ao mínimo quando esses limites são excedidos. Ao contrário do retorno modular, um positivo grande não vira negativo. Um valor já truncado e com wrap não permite saturar corretamente.

O módulo combinacional abaixo converte signed de 16 bits F=8 para oito bits F=4. Com d=4, guard=p[3] e sticky=p[2:0]. Incremento e comparação são feitos em signed de 17 bits e apenas ao final são mantidos oito bits.

module requantize (
  input  logic signed [15:0] p,
  output logic signed [7:0] y,
  output logic saturated
);
  logic signed [16:0] wide, q, rounded;
  logic inc;
  always_comb begin
    wide = {p[15], p};
    q = wide >>> 4;
    inc = p[3] & ((|p[2:0]) | q[0]);
    rounded = q + (inc ? 17'sd1 : 17'sd0);
    saturated = 1'b0;
    if (rounded > 17'sd127) begin
      y = 8'sh7f;
      saturated = 1'b1;
    end else if (rounded < -17'sd128) begin
      y = 8'sh80;
      saturated = 1'b1;
    end else begin
      y = rounded[7:0];
    end
  end
endmodule

P=2040 produz 127.5, arredonda para 128 e satura em 127: valor final 7.9375. Verificar apenas q=127 antes de arredondar perde esse excesso. saturated indica limitação pelo intervalo, não apenas perda de bits fracionários.

Ao generalizar, separe d=0, sem bits descartados, e d=1, sem região sticky. Esconder uma seleção inválida num condicional pode não evitar erro de elaboração.

Arredondamento e saturação acrescentam somadores, comparadores, MUX^{iMultiplexador Circuito combinacional que conecta uma dentre várias entradas à saída conforme um sinal de seleção. É preciso especificar a correspondência entre os bits de seleção e os números das entradas. Saiba mais} e atraso, e são escolhidos como políticas independentes; veja os formatos de ponto fixo da AMD. Ao acumular vários termos, decida se mantém largura intermediária e converte uma única vez ao final. Saturar a cada passo pode quebrar a associatividade; arredondar a cada passo pode acumular pequenos erros.