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Portas universais: construa circuitos apenas com NAND

Demonstre por construção a completude funcional de NAND e NOR e verifique os sinais intermediários de uma XOR.

O que significa «qualquer circuito»

Com NAND é possível construir NOT, AND e OR, e essas operações expressam qualquer função combinacional com uma quantidade finita de entradas. Nesse sentido, NAND é uma porta universal^{Porta universal Porta com a qual se pode construir qualquer função booleana usando apenas instâncias desse tipo. NAND e NOR são exemplos.}. Isso não significa que uma NAND resolva sozinha armazenamento, clock, fiação ou alimentação.

\overline a=\operatorname{NAND}(a,a)

ab=\operatorname{NAND}(n,n),\quad n=\operatorname{NAND}(a,b)

a+b=\operatorname{NAND}(\operatorname{NAND}(a,a),\operatorname{NAND}(b,b))

Ligar o mesmo sinal às duas entradas de NAND produz NOT. Para AND, inverte-se^{Negação Operação NOT que troca 0 por 1 e 1 por 0. Uma barra sobre uma expressão aplica NOT a toda a expressão coberta. Saiba mais} novamente a saída NAND; para OR, aplica-se De Morgan^{Leis de De Morgan Negar o resultado de AND equivale a aplicar OR às entradas negadas; negar o resultado de OR equivale a aplicar AND às entradas negadas. Saiba mais}. NOR também gera NOT unindo suas entradas, e sua universalidade é demonstrada com construções semelhantes.

Uma XOR com quatro NAND

Defina nesta ordem os sinais intermediários:

n_0=\overline{ab},\quad n_1=\overline{a n_0},\quad n_2=\overline{b n_0},\quad y=\overline{n_1n_2}

a	b	n0	n1	n2	y
0	0	1	1	1	0
0	1	1	1	0	1
1	0	1	0	1	1
1	1	0	1	1	0

Construa XOR compartilhando um sinal intermediário

Primeira NAND: n0 = NAND(a, b)
Duas NAND intermediárias: n1 = NAND(a, n0); n2 = NAND(b, n0)
Última NAND: y = NAND(n1, n2)

As duas NAND do segundo estágio estão em paralelo. Há quatro portas ao todo, mas o caminho lógico mais longo tem três estágios. Se cada porta demora no máximo 2 ns, a soma máxima é 6 ns nesse modelo simples. Carga e fiação reais exigem consideração adicional.

Compare o resultado das quatro NAND com XOR

XOR · Tabela-verdade
a	b	y
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	0

Preencha as quatro linhas e compare-as com a XOR acima. Equivalência funcional significa saídas iguais para todas as entradas; não implica mesma quantidade de portas nem mesmo atraso de propagação^{Atraso de propagação Tempo entre uma mudança de entrada e a estabilização da saída no valor correto. Equivalência lógica e comportamento temporal são propriedades distintas. Saiba mais}.

Experimente

Escreva NOT e AND usando apenas NOR. Quantas portas e quantos estágios há no caminho mais longo da AND?

Ler a explicação

NOT a=NOR(a,a). AND=NOR(NOR(a,a), NOR(b,b)). São três portas: duas inversões de entrada e a NOR final; o caminho mais longo tem dois estágios.