정현파 정상 상태를 표현하는 페이저

한 주파수에서 안정된 응답

페이저는 하나의 각주파수 $\omega=2\pi f$를 가진 정현파의 진폭과 위상을 나타냅니다. 선형 회로에서 과도 현상이 충분히 가라앉은 뒤의 응답을 해석할 때 유용합니다. 시작 과정, 클리핑된 파형, 여러 주파수가 섞인 파형 전체를 하나의 숫자로 바로 설명하지는 않습니다. 서로 다른 정현파 주파수는 각각 해석하고 선형 중첩이 성립할 때만 결합하세요.

진폭의 정의도 일관되게 사용해야 합니다. 여기서 페이저 진폭은 실효값(RMS)입니다. 정현파의 실효값은 피크값을 √2로 나눈 값이고, 피크 간 값은 피크값의 두 배입니다. 1 V RMS 정현파의 피크값은 1.414214 V, 피크 간 값은 2.828427 V입니다. 피크 입력과 RMS 출력을 섞어 이득을 구하면 나머지 계산이 맞아도 틀린 이득이 나옵니다.

복소 임피던스

이상적인 저항의 임피던스는 R, 커패시터는 $1/(j\omega C)$, 인덕터는 $j\omega L$입니다. 1 kHz에서 100 nF 커패시터의 리액턴스 크기는 1591.549 Ω이며 위상은 −90°입니다. 10 mH 인덕터의 리액턴스는 62.8319 Ω, 위상은 +90°입니다. 부호는 전압과 전류의 위상 관계를 표현합니다.

1 kΩ 저항과 100 nF 커패시터의 직렬 회로를 1 kHz, 1 V RMS로 구동합니다. 전체 임피던스는 $1000-j1591.549$ Ω이고 크기는 1879.635 Ω입니다. 전류 크기는 0.532018 mA이며 전류는 전원 전압보다 약 57.86° 앞섭니다. 저항 전압은 0.532018 V RMS이고 커패시터 전압의 크기는 약 0.846733 V RMS입니다.

두 전압의 크기를 산술적으로 더하면 1 V가 되지 않습니다. 위상이 서로 다르기 때문입니다. 복소수로 더하면 합이 전원 전압과 같아집니다. 부호 없는 크기 대신 페이저를 사용하는 AC의 KVL입니다. 전체 임피던스의 크기도 1000과 1591.549를 단순히 더한 값이 아니라 실수부와 허수부를 함께 고려한 값입니다.

위상 관계를 확인할 때는 어떤 신호를 기준으로 삼았는지 명시하세요. 전원 전압을 기준 위상으로 두면 저항 전압은 전류와 같은 위상이고 커패시터 전압은 그 전류보다 90° 늦습니다. 각 소자에 대한 관계와 전원에 대한 관계를 구분하면 ‘커패시터 위상 −90°’를 출력 전체의 위상으로 잘못 읽는 실수를 피할 수 있습니다.

결과의 의미 유지하기

저항의 평균 전력은 RMS 전류의 제곱에 R을 곱하여 구하며 이 예제에서는 약 0.283043 mW입니다. 이상적인 커패시터는 에너지를 저장하고 되돌려 주지만 평균 소비 전력은 0입니다. 실제 커패시터는 손실로 전력을 소비할 수 있으며 이를 다루려면 모델에 추가 항이 필요합니다.

실효값을 사용하는 이유는 같은 저항에서 같은 평균 발열을 만드는 DC 값과 비교할 수 있기 때문입니다. 다만 이 강좌의 √2 변환은 정현파에 대한 관계이므로 임의의 파형에 그대로 적용하면 안 됩니다. 주파수, 진폭 기준, 기준 위상을 한 묶음으로 적고 복소수 계산을 끝낸 뒤 필요한 크기와 위상으로 바꾸면, 파형 해석과 전력 계산이 서로 일관되게 이어집니다.