8 / 63 · अवधारणा

सत्य सारणी से सूत्र तक: मिनटर्म, मैक्सटर्म, SOP और POS

1 वाली और 0 वाली पंक्तियों से अलग-अलग वही फलन निकालें और उसे कार्नो मानचित्र के संकेतों से जोड़ें।

सत्य सारणी की केवल एक पंक्ति चुनना

इनपुट क्रम $A,B,C$ तय करें और A को सर्वोच्च बिट रखें। पंक्ति 5 का अर्थ ABC=101 है। केवल इस पंक्ति पर 1 बनने वाला गुणन पद $m_5=A\overline B C$ है। प्रत्येक चर ठीक एक बार शामिल करने वाला ऐसा पद मिनटर्म (minterm) कहलाता है। इसका अर्थ “न्यूनतम गेट संख्या” नहीं है।

फलन $F$ पंक्तियों 1, 3, 5, 6, 7 में 1 हो तो उनके मिनटर्म^{मिनटर्म हर इनपुट चर को एक बार शामिल करने वाला AND पद, जो केवल एक इनपुट संयोजन पर 1 होता है। आउटपुट 1 वाली पंक्तियों के मिनटर्म OR से जोड़े जा सकते हैं।} को OR से जोड़ें।

F=\Sigma m(1,3,5,6,7)=\overline A\overline B C+\overline A B C+A\overline B C+AB\overline C+ABC

यह गुणनों का योग, अर्थात SOP है। मानक SOP के हर पद में सभी चर होते हैं। सामान्य SOP के पदों से कुछ चर अनुपस्थित हो सकते हैं।

0 वाली पंक्तियों से भी वही फलन

केवल पंक्ति 2, ABC=010 पर 0 होने वाला योग पद $M_2=A+\overline B+C$ है। उसके प्रत्येक लिटरल को उस पंक्ति में 0 होने के लिए चुना गया है। मैक्सटर्म^{मैक्सटर्म हर इनपुट चर को एक बार शामिल करने वाला OR पद, जो केवल एक इनपुट संयोजन पर 0 होता है। आउटपुट 0 वाली पंक्तियों के मैक्सटर्म AND से जोड़े जाते हैं।} (maxterm) वह OR पद है जो ठीक एक पंक्ति पर 0 होता है।

F पंक्तियों 0, 2, 4 पर 0 है, इसलिए योगों का गुणन, अर्थात POS इस प्रकार मिलता है।

F=\Pi M(0,2,4)=(A+B+C)(A+\overline B+C)(\overline A+B+C)

Σ और Π सत्य सारणी^{सत्य सारणी हर संभव इनपुट संयोजन और उसके आउटपुट की पूरी सूची। समय के साथ बदलाव अलग तरंगरूप में जाँचे जाते हैं। विस्तार से पढ़ें} की पंक्ति संख्याओं के समुच्चय का संक्षिप्त संकेत हैं। Σm में 1 वाली और ΠM में 0 वाली पंक्तियाँ लिखें।

एक सत्य सारणी से दो सूत्र

1 वाली पंक्तियाँ: मिनटर्म 1, 3, 5, 6, 7 का OR
वही F: 1 होने पर C=1 या A=B=1
0 वाली पंक्तियाँ: मैक्सटर्म 0, 2, 4 का AND

मानक रूप शुरुआत है, सरलीकरण अगला चरण

ऊपर का फलन $F=C+AB$ हो जाता है। C=1 वाली चार पंक्तियाँ एक समूह हैं; C=0 पर बची 110 को AB ढकता है। इस सूत्र के AB पद में C नहीं है, इसलिए यह SOP है, लेकिन मानक SOP नहीं।

अगले पाठ में कार्नो मानचित्र की सहायता से ऐसे समूह खोजने का तरीका सीखेंगे। इनपुट बदलने पर कौन सा चर समाप्त होता है, यह सोचें; तब केवल नियम याद करने की आवश्यकता नहीं रहेगी।

अभ्यास · एक फलन के तीन निरूपण जोड़ें

सत्य सारणी की पंक्तियाँ, मानक रूप और सरल सूत्र

F = C + A · B

तीन-इनपुट सत्य सारणी · X अनिर्धारित आउटपुट है
ABC	F
000	0
001	1
010	0
011	1
100	0
101	1
110	1
111	1

ऊपर के A, B, C बटन केवल देखा जा रहा इनपुट बदलते हैं। मानचित्र के 0, 1, X बटन फलन का विनिर्देश स्वयं बदलते हैं। दोनों क्रियाएँ अलग रखें। बिंदीदार सीमा वर्तमान इनपुट दर्शाती है; नीली सीमा चुने गए गुणन पद के अंतर्गत आने वाले खानों को दर्शाती है।

प्रारंभिक फलन में ABC=110 रखने पर F=1 है, क्योंकि C=0 होने पर भी AB पद 1 है। नीचे C और A·B समूह बारी-बारी चुनें और देखें कि m7 दोनों में आता है। एक खाने को दो बार शामिल करने से OR का परिणाम नहीं बदलता।

अब m6 के आउटपुट को दो बार दबाकर 1 → X → 0 करें। अंतिम फलन केवल C है। Σm से 6 हटना और ΠM में 6 जुड़ना चाहिए। बीच की X अवस्था में विनिर्देश उस पंक्ति का आउटपुट तय नहीं करता। यदि इनपुट संभव है और आउटपुट तय है, तो लागत घटाने के लिए उसे मनमाने ढंग से X नहीं कर सकते।

Σm आवश्यक 1, ΠM आवश्यक 0 और d अनिर्धारित पंक्तियों का समुच्चय दिखाता है। d रिक्त न हो तो अकेला Σm या ΠM पूर्ण सत्य सारणी नहीं बताता। अभ्यास का “न्यूनतम SOP” पहले गुणन पदों की संख्या, फिर बराबरी होने पर लिटरलों की संख्या घटाने वाले सूत्रों में से एक है; यह वास्तविक गेट क्षेत्रफल का सर्वोत्तम समाधान नहीं है।

खुद आज़माएँ

F=C+AB में केवल m6 की माँग 1 से 0 करें तो कौन सा सूत्र मिलेगा? विनिर्देश की दृष्टि से यह m6 को X करने से कैसे अलग है?

व्याख्या पढ़ें

F=C होगा। m6=0 होने पर उस इनपुट पर अनिवार्यतः 0 देना है। m6=X होने पर उस पंक्ति में 0 या 1 दोनों कार्यान्वयन स्वीकार्य हैं, लेकिन बाकी सभी पंक्तियों की शर्तें पूरी होनी चाहिए।