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Universelle Gatter: Schaltungen nur mit NAND aufbauen

Die funktionale Vollständigkeit von NAND und NOR konstruktiv zeigen und XOR-Zwischensignale prüfen.

Was „jede Schaltung“ hier bedeutet

Aus NAND lassen sich NOT, AND und OR bilden; jede kombinatorische Logikfunktion mit endlich vielen Eingängen kann durch diese Operationen ausgedrückt werden. In diesem Sinn ist NAND ein universelles Gatter^{Universelles Gatter Ein Gattertyp, mit dessen wiederholtem Einsatz jede boolesche Funktion aufgebaut werden kann. NAND und NOR sind typische Beispiele.}. Das bedeutet nicht, dass ein NAND allein Speicherung, Taktung, Verdrahtung und Stromversorgung erledigt.

\overline a=\operatorname{NAND}(a,a)

ab=\operatorname{NAND}(n,n),\quad n=\operatorname{NAND}(a,b)

a+b=\operatorname{NAND}(\operatorname{NAND}(a,a),\operatorname{NAND}(b,b))

Werden beide NAND-Eingänge verbunden, entsteht NOT. AND entsteht durch erneute Inversion^{Inversion NOT vertauscht 0 und 1. Ein Überstrich wendet NOT auf den gesamten darunterstehenden Ausdruck an. Mehr erfahren} hinter NAND, OR durch Anwendung von De Morgan^{De Morgan Ein invertiertes AND-Ergebnis entspricht OR der invertierten Eingänge; ein invertiertes OR entspricht AND der invertierten Eingänge. Mehr erfahren}. Auch bei NOR ergibt das Verbinden der Eingänge NOT; ähnliche Konstruktionen zeigen seine Universalität.

XOR aus vier NAND-Gattern aufbauen

Definieren Sie die Zwischensignale in dieser Reihenfolge:

n_0=\overline{ab},\quad n_1=\overline{a n_0},\quad n_2=\overline{b n_0},\quad y=\overline{n_1n_2}

a	b	n0	n1	n2	y
0	0	1	1	1	0
0	1	1	1	0	1
1	0	1	0	1	1
1	1	0	1	1	0

XOR mit gemeinsamem Zwischensignal aufbauen

Erstes NAND: n0 = NAND(a, b)
Zwei mittlere NANDs: n1 = NAND(a, n0); n2 = NAND(b, n0)
Letztes NAND: y = NAND(n1, n2)

Die beiden NANDs der zweiten Stufe liegen parallel. Insgesamt sind es vier Gatter, doch der längste Logikpfad hat drei Stufen. In einem einfachen Modell mit höchstens 2 ns je Gatter beträgt die maximale Pfadsumme 6 ns. Abweichungen durch reale Lasten und Leitungen sind gesondert zu berücksichtigen.

Das Ergebnis der vier NANDs mit XOR vergleichen

XOR · Wahrheitstabelle
a	b	y
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	0

Füllen Sie alle vier Tabellenzeilen selbst aus und vergleichen Sie sie mit XOR oben. Funktionale Äquivalenz ist eine Aussage über alle Eingangs-Ausgangs-Kombinationen, nicht über gleiche Gatterzahlen oder Laufzeiten^{Laufzeit Zeit nach einer Eingangsänderung, bis der Ausgang auf dem richtigen Wert stabil ist. Logische Äquivalenz und zeitliche Eigenschaften sind getrennte Aussagen. Mehr erfahren}.

Selbst ausprobieren

Geben Sie NOT und AND nur mit NOR an. Wie viele Gatter und wie viele Stufen im längsten Pfad benötigt AND?

Erklärung lesen

NOT a=NOR(a, a). AND=NOR(NOR(a, a), NOR(b, b)). Zwei Eingangsinversionen plus ein abschließendes NOR ergeben drei Gatter und zwei Stufen im längsten Pfad.