Von der Wahrheitstabelle zum Ausdruck: Minterme, Maxterme, SOP und POS

Genau eine Zeile der Wahrheitstabelle auswählen

Wir legen die Eingangsreihenfolge $A,B,C$ fest, mit A als höchstwertigem Bit. Zeile 5 bedeutet ABC=101. Nur dort wird der Produktterm $m_5=A\overline B C$ zu 1. Ein solcher Term, der jede Variable genau einmal enthält, heißt Minterm. Das bedeutet nicht „minimale Gatterzahl“.

Ist $F$ in den Zeilen 1, 3, 5, 6 und 7 gleich 1, werden deren Minterme^{iMinterm AND-Term mit jeder Eingangsvariablen genau einmal, der nur für eine Kombination 1 ist. Minterme der Einszeilen können durch OR verbunden werden.} mit OR verbunden.

Dies ist eine Summe von Produkten (SOP). In kanonischer SOP enthält jeder Term alle Variablen; in allgemeiner SOP dürfen Variablen fehlen.

Dieselbe Funktion aus den Nullzeilen bilden

Der Summenterm $M_2=A+\overline B+C$ ist nur in Zeile 2, ABC=010, gleich 0. Seine Literale wurden so gewählt, dass dort jedes 0 ist. Ein Maxterm^{iMaxterm OR-Term mit jeder Eingangsvariablen genau einmal, der nur für eine Kombination 0 ist. Maxterme der Nullzeilen werden durch AND verbunden.} ist ein OR-Term, der genau eine Zeile zu 0 macht.

F ist in den Zeilen 0, 2 und 4 gleich 0. Daraus folgt dieses Produkt von Summen (POS):

Σ und Π sind Kurzschreibweisen für Mengen von Zeilennummern der Wahrheitstabelle^{iWahrheitstabelle Vollständige Liste aller Eingangskombinationen mit jeweiligem Ausgang. Zeitliche Änderungen werden gesondert im Zeitdiagramm geprüft. Mehr erfahren}. Σm listet Einszeilen auf, ΠM Nullzeilen.

Die kanonische Form ist der Ausgangspunkt

Die Funktion vereinfacht sich zu $F=C+AB$. Die vier Zeilen mit C=1 bilden eine Gruppe; die verbleibende 110 bei C=0 wird durch AB abgedeckt. Weil AB kein C enthält, ist dies SOP, aber keine kanonische SOP.

Die nächste Lektion zeigt, wie diese Gruppen im Karnaugh-Diagramm sichtbar werden. Überlegen Sie, welche Variable innerhalb einer Gruppe wechselt und deshalb entfällt, statt nur Regeln auswendig zu lernen.

Übung · Drei Darstellungen derselben Funktion verbinden

Die oberen A-, B- und C-Schaltflächen ändern nur den beobachteten Eingang. Die 0/1/X-Schaltflächen im Diagramm ändern die Funktionsspezifikation selbst. Unterscheiden Sie beide Eingriffe. Die gestrichelte Markierung zeigt den aktuellen Eingang, der blaue Rahmen die vom gewählten Produktterm erfassten Zellen.

Stellen Sie in der anfänglichen Funktion ABC=110 ein: F=1, weil trotz C=0 der Term AB gleich 1 ist. Wählen Sie abwechselnd die C- und A·B-Gruppe. m7 gehört zu beiden. Eine Zelle doppelt zu erfassen ändert das OR-Ergebnis nicht.

Klicken Sie nun zweimal auf m6: 1 → X → 0. Die abschließende Funktion ist allein C. In Σm muss 6 verschwinden, in ΠM hinzukommen. Im Zwischenzustand X fordert die Spezifikation keinen bestimmten Ausgang für diese Zeile. Ist der Eingang möglich und sein Ausgang festgelegt, darf er zur Kostensenkung nicht willkürlich auf X gesetzt werden.

Σm zeigt erforderliche Einsen, ΠM erforderliche Nullen und d die Don't-care-Zeilen. Ist d nicht leer, beschreibt Σm oder ΠM allein keine vollständige Wahrheitstabelle. Die „minimale SOP“ der Übung ist eine der Lösungen, die zuerst die Produkttermzahl und bei Gleichstand die Literalzahl minimieren; sie garantiert keine minimale reale Gatterfläche.