5 / 63 · 概念

XOR、XNOR：相同、相異與同位檢查

區分雙輸入 XOR 與多輸入同位運算，說明錯誤偵測的限制。

判斷兩個位元是否不同的邏輯閘

XOR 在兩個輸入不同時為 1，XNOR 在兩者相同時為 1。

a\oplus b=\overline a b+a\overline b,\qquad \overline{a\oplus b}=ab+\overline a\,\overline b

OR 與 XOR 在 00、01、10 時相同，在 11 時不同。XOR 符號是在 OR 前方多一條曲線；XNOR 還會加上輸出反相^{反相是將 0 變為 1、1 變為 0 的 NOT 運算。公式上方的橫線表示對線下的整個運算式套用 NOT。詳細內容}圓圈。

在 11 時比較 OR 與 XOR

XOR · 真值表
a	b	y
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	0

三個以上輸入時，不再是「恰好一個」

XOR 滿足結合律，可依序計算 $a\oplus b\oplus c$ 。輸入中 1 的個數為奇數時，結果為 1。111 的結果也是 1，因此不能把「恰好一個輸入為 1」的說明直接延伸。

全加器的 sum 輸出就是這個三輸入同位值^{同位性（parity）表示值為 1 的位元個數是奇數或偶數。同位檢查能偵測奇數個位元錯誤，但可能漏掉偶數個位元錯誤。}，cout 則表示 1 的個數是否至少為二。下方設成 111 時，sum=1、cout=1，整數總和為 $1+2\times1=3$ 。

三個輸入：奇數個 1 與多數決不同

a + b + cin = sum + 2 × cout

同位檢查只能偵測特定類型的錯誤

資料 $d_3d_2d_1d_0=1011$ 的偶同位位元為 $p=d_3\oplus d_2\oplus d_1\oplus d_0=1$ ，資料和 p 一起 XOR 的結果為 0。傳送中若有奇數個位元翻轉，整體 XOR 會變成 1，因而偵測到錯誤。偶數個位元翻轉則可能無法偵測；單一同位位元也無法指出錯誤位置。

比較位元序列是否相同

要檢查向量 A 與 B 是否相同，可將各位元 XOR 的結果用 OR 合併。

equal=\overline{\bigvee_i(A_i\oplus B_i)}

只要有一個位元不相符，OR 就為 1。將整體反相後，只有全部位元相同才為 1。若實作成「把各 XOR 再全部 XOR 就能判斷相等」，兩個不相符位元會互相抵消，造成錯誤。

自己試試看

A=1010、B=1001 時，求出 XOR 位元序列與 equality 結果。若再對 XOR 位元序列做 XOR 歸約來判斷「相等」，會有什麼問題？

查看解說

XOR 位元序列為 0011，相等結果為 0。兩個不相符位元經 XOR 會互相抵消成 0，再反相便錯誤得到相等=1。不相符位元應以 OR 歸約。