2 / 63 · 概念

數制與固定寬度表示

除了進位制轉換，也計算表示範圍、所需位元數與截斷誤差。

本課程的起點

建議具備高中代數與基本程式設計經驗。課內會整理二進位與布林代數^{布林代數處理 0、1 與 AND、OR、NOT 運算。此處的加號通常代表 OR，規則與整數加法不同。詳細內容}，並以大學入門數位邏輯設計的程度快速推進。比起背公式，更應專注於定義輸入條件、位元寬度與觀察時間，再用範例驗證。

電路儲存的是有限的位元序列；如何將它解讀為整數、有號值或定點數^{定點數預先固定小數點位置，對整數位元序列套用固定倍率來表示數值。必須一併指定位寬、是否帶符號與小數位元數。詳細內容}，則由設計契約決定。本單元假設你已理解整數運算與次方，直接進入實際 RTL 所需的範圍計算。

$N$ 位元 unsigned^{無符號（unsigned）將位元序列解讀為非負整數。n 位元範圍為 0 至 2^n−1；相同位元序列的帶符號解讀可能得到不同數值。} 值的解讀如下。

u=\sum_{i=0}^{N-1}b_i2^i,\qquad 0\le u\le 2^N-1

10110110 是 $128+32+16+4+2=182$ 。每 4 位元分組可得 B6，因此 8'hB6 與 8'b10110110 表示相同位元序列。十六進位的每一位固定對應 4 個位元，閱讀位址、遮罩與波形時可快速轉換。

試著切換下方的 b7。unsigned 解讀會增加位權 128，但二補數^{二補數以固定寬度的位元序列表示帶符號整數。n 位元範圍為 −2^(n−1) 至 2^(n−1)−1。詳細內容}解讀中，最高有效位元的權重是 −128。先做出 0x7F 與 0x80，比較兩種解讀的邊界。

位元與數值表示

10110110 → unsigned 182 · signed -74 · hex 0xB6

改變位元序列與將它解讀為 signed 是不同操作。即使電路同為 8 位元寬，傳給運算子的符號資訊不同，比較結果也可能不同。

區分 $M$ 個不同狀態所需的最少位元數如下。

N=\left\lceil\log_2 M\right\rceil

從 0 數到 999 需表示 1000 個值，因此需要 10 位元。從 0 到 1024 則有 1025 個值，需要 11 位元。混淆最大值與狀態數量，就會恰好在邊界少一個位元。若 RTL 參數也允許 $M=1$ ，應將寬度下限設為 1，避免產生零位元向量。

捨棄高位元、只保留 $N$ 位元的 unsigned 儲存等同模數運算。

x_{stored}=x\bmod 2^N

例如將 9 位元的計算結果 300 存入 8 位元，會留下 44。這不是四捨五入，也不是飽和運算。若需要飽和，必須另外設計偵測超出範圍並選擇最大值的電路。

SystemVerilog
logic [7:0] a, b, low;
logic [8:0] full_sum;
assign full_sum = {1'b0, a} + {1'b0, b};
assign low = full_sum[7:0];

先擴展兩個運算元，清楚表達連 carry 也要保留的意圖。不要只看進位制寫法，就以為符號與結果寬度也已決定。判讀波形必須同時掌握寬度、符號與基底。

從 0 數到 4095 與從 0 數到 4096，分別需要幾個位元？把 511 存入 8 位元 unsigned 後會留下什麼值？

查看解說

第一個範圍有 $4096=2^{12}$ 個值，需要 12 位元；第二個有 4097 個值，需要 13 位元。因為 $511\bmod256=255$ ，儲存值為 8'hFF，但不能只憑這個值認定沒有發生 overflow。