6 / 63 · Khái niệm

Cổng phổ dụng: xây mạch chỉ bằng NAND

Chứng minh tính đầy đủ chức năng của NAND, NOR bằng cấu trúc và kiểm tra tín hiệu trung gian của XOR.

Phạm vi của cụm từ “mọi mạch”

Chỉ dùng NAND có thể tạo NOT, AND, OR; mọi hàm logic tổ hợp có số đầu vào hữu hạn đều biểu diễn được bằng các phép này. Theo nghĩa đó, NAND là cổng phổ dụng^{Cổng phổ dụng Cổng mà chỉ cần lặp lại một loại đó cũng tạo được mọi hàm Boolean. NAND và NOR là ví dụ tiêu biểu.}. Điều này không có nghĩa một NAND giải quyết luôn lưu trữ, clock, dây nối và công suất.

\overline a=\operatorname{NAND}(a,a)

ab=\operatorname{NAND}(n,n),\quad n=\operatorname{NAND}(a,b)

a+b=\operatorname{NAND}(\operatorname{NAND}(a,a),\operatorname{NAND}(b,b))

Nối cùng một tín hiệu vào hai đầu vào NAND sẽ tạo NOT. Đảo^{Phủ định Phép NOT đổi 0 thành 1 và 1 thành 0. Gạch trên biểu thức nghĩa là áp dụng NOT cho toàn bộ phần nằm dưới gạch. Tìm hiểu thêm} thêm một lần sau NAND tạo AND; áp dụng De Morgan^{De Morgan Đảo kết quả AND tương đương OR các đầu vào đã đảo; đảo kết quả OR tương đương AND các đầu vào đã đảo. Tìm hiểu thêm} tạo OR. NOR cũng tạo được NOT bằng cách nối chung đầu vào, rồi chứng minh tính phổ dụng qua cấu trúc tương tự.

Tạo XOR bằng bốn NAND

Định nghĩa các tín hiệu trung gian theo thứ tự sau.

n_0=\overline{ab},\quad n_1=\overline{a n_0},\quad n_2=\overline{b n_0},\quad y=\overline{n_1n_2}

a	b	n0	n1	n2	y
0	0	1	1	1	0
0	1	1	1	0	1
1	0	1	0	1	1
1	1	0	1	1	0

Tạo XOR với tín hiệu trung gian dùng chung

NAND đầu tiên: n0 = NAND(a, b)
Hai NAND trung gian: n1 = NAND(a, n0); n2 = NAND(b, n0)
NAND cuối cùng: y = NAND(n1, n2)

Hai NAND ở tầng hai chạy song song. Tổng cộng có bốn cổng nhưng đường logic dài nhất chỉ có ba tầng. Trong mô hình đơn giản với mỗi cổng tối đa 2 ns, tổng đường dài nhất là 6 ns. Ảnh hưởng của tải và dây nối thực phải xét riêng.

Đối chiếu kết quả bốn NAND với XOR

XOR · Bảng chân trị
a	b	y
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	0

Tự điền bốn hàng rồi so sánh với XOR phía trên. Tương đương chức năng là khẳng định đầu ra giống nhau cho mọi đầu vào, không phải số cổng hoặc độ trễ lan truyền^{Độ trễ lan truyền Thời gian từ khi đầu vào đổi đến khi đầu ra ổn định ở giá trị đúng. Tương đương logic và đặc tính thời gian là hai vấn đề riêng. Tìm hiểu thêm} giống nhau.

Tự thử

Viết biểu thức tạo NOT và AND chỉ bằng NOR. Cấu trúc AND có bao nhiêu cổng và đường dài nhất bao nhiêu tầng?

Đọc giải thích

NOT a=NOR(a,a). AND là NOR(NOR(a,a), NOR(b,b)). Hai bộ đảo đầu vào và NOR cuối tạo tổng cộng ba cổng, đường dài nhất hai tầng.