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二进制补码、符号扩展与溢出

用公式与反例区分位串的 signed 解释及加法溢出条件。

最高位的权重发生变化

$N$ 位二进制补码^{二进制补码用固定位宽位串表示有符号整数的方法。n 位范围为 −2^(n−1) 到 2^(n−1)−1。}整数按下式解释。

s=-b_{N-1}2^{N-1}+\sum_{i=0}^{N-2}b_i2^i

-2^{N-1}\le s\le 2^{N-1}-1

四位 1010 按 unsigned^{unsigned 将位串解释为非负整数的规则。n 位范围为 0 到 2^n−1，可能与同一位串的 signed 解释不同。了解更多} 解释为 10，按 signed 解释为 -6。它不是取出符号位后，把其余位当作绝对值。固定位宽中， $-x$ 可通过按位取反^{取反将 0 变为 1、1 变为 0 的 NOT 运算。表达式上方的横线表示对其覆盖的整个表达式应用 NOT。了解更多}再加 1 得到，但最小值 $-8$ 对应的正数 +8 不在同样的四位 signed 范围内。

扩展必须保留数值

unsigned 扩展在前面补 0，signed 扩展在前面补原符号位。将 1010 变成 00001010 得到 +10，变成 11111010 得到 -6。即使扩展同一位串，解释不同，所需电路也不同。

SystemVerilog
logic signed [3:0] a, b;
logic signed [4:0] exact;
logic [3:0] result;
logic overflow;
assign exact = {a[3], a} + {b[3], b};
assign result = exact[3:0];
assign overflow = (a[3] == b[3]) && (result[3] != a[3]);

本例为不带进位输入的双操作数 signed 加法。用 exact 保留五位和，并检查缩窄结果的符号是否正确。

初值设为 11111010。确认 unsigned 的 250 与 signed 的 −6 使用同一个位串。切换 b7 后，两种解释的数值会向相反方向变化。

如何解释同一八位位串的符号

11111010 → unsigned 250 · signed -6 · hex 0xFA

进位不同于有符号溢出

V=\overline{a_{N-1}\oplus b_{N-1}}\,(s_{N-1}\oplus a_{N-1})

两个同号数相加而结果变号时，就发生溢出。四位运算中， $7+3$ 存为 1010，看起来是 -6； $-8+(-1)$ 存为 0111，看起来是 +7。两个异号数相加不会出现这种越界。

RTL 表达式混用 signed 与 unsigned，容易使比较与扩展规则混淆。请明确两个操作数的位宽与符号属性，并将最小值、-1、0 和最大值纳入边界测试。

自己试试

在四位 signed 运算中，求 $-3+(-4)$ 与 $5+5$ 的存储位串及溢出情况，并解释对 $-8$ 取负的结果。

阅读解释

$-7$ 为 1001，无溢出。10 超出范围，存为 1010（-6），因此溢出。对 -8 取反再加 1，仍得到 1000，因为无法表示 +8，不能把它当作正确的绝对值计算。