数制与固定位宽表示

本课程的起点

建议具备高中代数知识和基本编程经验。课程会梳理二进制与布尔代数^{i布尔代数 处理 0、1 及 AND、OR、NOT 的代数。这里的加号通常表示 OR，因此规则与整数加法不同。了解更多}，并以大学入门数字逻辑设计的水平快速推进。请把重点放在定义输入条件、位宽和观察时刻，并用实例验证，而非只背公式。

必须区分位串与数值

电路存储的是有限位串。将其解释为整数、有符号数还是定点数^{i定点数 预先固定小数点位置，并对整数位串施加固定比例的数值表示方法。必须同时规定位宽、符号属性和小数位数。了解更多}，由设计约定决定。本课假定你已了解整数运算和幂运算，直接进入实际 RTL 所需的范围计算。

$N$ 位 unsigned^{iunsigned 将位串解释为非负整数的规则。n 位范围为 0 到 2^n−1，可能与同一位串的 signed 解释不同。} 数值的解释如下。

10110110 等于 $128+32+16+4+2=182$。每四位分组得到 B6，因此 8'hB6 与 8'b10110110 是同一个位串。一个十六进制数字始终对应四位，所以阅读地址、掩码和波形时可以快速转换。

位串不变，解释不同

在下方切换 b7。按 unsigned 解释时，它增加的位权是 128；按二进制补码^{i二进制补码 用固定位宽位串表示有符号整数的方法。n 位范围为 −2^(n−1) 到 2^(n−1)−1。了解更多}解释时，最高位的权重是 −128。先构造 0x7F 与 0x80，比较两种解释在边界处的差别。

改变位串和将其按 signed 解释是不同的操作。即使电路位宽同为 8 位，传给运算符的符号属性不同，也可能改变比较结果。

先确定范围，再确定位宽

区分 $M$ 个不同状态所需的最少位数如下。

从 0 数到 999 需要表示 1000 个值，因此需要 10 位。从 0 数到 1024 有 1025 个值，需要 11 位。若混淆最大值与状态数，就会恰好在边界处少一位。若 RTL 的参数也支持 $M=1$，必须将位宽限制为至少 1，避免产生零位宽向量。

存入较窄信号时会发生什么

丢弃高位、只保留 $N$ 位的 unsigned 存储是一种取模运算。

例如将 9 位计算结果 300 存入 8 位，只剩下 44。这既不是舍入，也不是饱和。若需要饱和运算，必须另行设计越界检测和选择最大值的电路。

logic [7:0] a, b, low;
logic [8:0] full_sum;
assign full_sum = {1'b0, a} + {1'b0, b};
assign low = full_sum[7:0];

两个操作数都先扩展，明确表达了保留进位的意图。不要认为仅凭进制写法就已确定符号属性和结果位宽。解读波形时，位宽、符号属性和基数缺一不可。