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从真值表到 MUX 与 Shannon 展开

从选择逻辑推导公式，用 MUX 分解任意逻辑函数。

从选择规则推导表达式

若要求 sel=0 时输出 a、sel=1 时输出 b，就将每个输入与对应选择条件相与，再用 OR 合并。

y=\overline s a+s b

代入 $s=0$ 只剩 a，代入 $s=1$ 只剩 b。a 与 b 相同时，改变 sel 不改变输出，因此寻找选择信号错误时，必须包含两数据输入不同的情况。

蓝色路径表示所选输入。把 a、b 设为不同值后切换 sel。如果两者相同，仅凭输出就难以区分选择线是否接错。

由选择信号改变的数据路径

y = sel ? b : a

MUX 是分解逻辑函数的通用方法

对于任意布尔函数 F，将 s 分别固定为 0、1 所得子函数记为 $F_0,F_1$ 。

F=\overline s F_0+sF_1

这就是 Shannon 展开。利用 s ? F1 : F0，可将任意函数分为两部分。例如在 $F=a\oplus b$ 中，以 a 为选择信号，则 $F_0=b$ 、 $F_1=\overline b$ ，因此可用 MUX^{多路选择器根据选择信号，把多个输入之一连接到输出的组合电路。必须规定选择位与输入编号的对应关系。}与反相^{取反将 0 变为 1、1 变为 0 的 NOT 运算。表达式上方的横线表示对其覆盖的整个表达式应用 NOT。了解更多}构造 XOR。

4-to-1 选择与优先级

用两个选择位从四个输入中选择一个，可由两级 2-to-1 MUX 构成。相比之下，if (req0) ... else if (req1) ... 在多个请求同时为 1 时优先选择前面的请求。地址选择与优先级选择解决的是不同问题，不能混为一谈。

SystemVerilog
assign y = sel[1] ? (sel[0] ? d3 : d2)
                 : (sel[0] ? d1 : d0);

理想平衡树中，若输入数为 $2^m$ ，则选择路径为 m 级。物理延迟不仅取决于级数，还受输入到达时间、负载和布线影响。函数分解提供实现候选，并不是保证最优延迟的证明。

自己试试

将 $F=a b+\overline a c$ 表示成以 a 为选择信号的 MUX。两个数据输入分别是什么？

阅读解释

$a=0$ 时 $F_0=c$ ， $a=1$ 时 $F_1=b$ ，因此为 assign f = a ? b : c;。先计算子函数，避免交换选择值 0 和 1 对应的数据输入。