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XOR、XNOR：相同、不同与奇偶性

区分双输入 XOR 与多输入奇偶性，解释错误检测的局限。

判断两个比特是否不同的逻辑门

XOR 在两个输入不同时输出 1；XNOR 在两个输入相同时输出 1。

a\oplus b=\overline a b+a\overline b,\qquad \overline{a\oplus b}=ab+\overline a\,\overline b

OR 与 XOR 在 00、01、10 时相同，在 11 时不同。XOR 的符号比 OR 在输入侧多一条曲线；XNOR 还带有输出反相^{取反将 0 变为 1、1 变为 0 的 NOT 运算。表达式上方的横线表示对其覆盖的整个表达式应用 NOT。了解更多}圆圈。

在输入 11 时比较 OR 与 XOR

XOR · 真值表
a	b	y
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	0

三个及以上输入时，不是“恰好一个”

XOR 满足结合律，因此可以依次计算 $a\oplus b\oplus c$ 。当输入中 1 的个数为奇数时，结果为 1。111 的结果也是 1，因此不能把“恰好一个输入为 1”的说法直接推广到多输入情况。

全加器的 sum 输出就是这种三输入奇偶性^{奇偶性表示值为 1 的位数是奇数还是偶数。奇偶校验能检测奇数个位错误，但可能漏掉偶数个位错误。}，cout 则表示 1 的个数是否至少为两个。在下方构造 111，可得到 sum=1、cout=1，整数和为 $1+2\times1=3$ 。

三个输入：奇数个与多数表决并不相同

a + b + cin = sum + 2 × cout

奇偶校验能检测的错误类型有限

对于数据 $d_3d_2d_1d_0=1011$ ，偶校验位为 $p=d_3\oplus d_2\oplus d_1\oplus d_0=1$ 。将数据与 p 一起 XOR，结果为 0。传输中若有奇数个位翻转，总 XOR 变为 1，因而能检测出来。偶数个位翻转可能无法检测，而且单个奇偶校验位也不能定位错误。

判断两个位串是否相同

要判断向量 A 和 B 是否相同，可将各位 XOR 的结果用 OR 汇总。

equal=\overline{\bigvee_i(A_i\oplus B_i)}

只要有一个不匹配位，OR 就为 1。将整体取反，只有所有位都相同时才输出 1。若实现为“把各位 XOR 的结果再全部 XOR 就能判断相等”，两个不匹配位会相互抵消，造成错误。

自己试试

当 A=1010、B=1001 时，求 XOR 位串与相等比较结果。若对 XOR 位串再做 XOR 归约来判断“相等”，会出现什么问题？

阅读解释

XOR 位串为 0011，相等结果为 0。将两个不匹配位 XOR 会相互抵消为 0，再取反便错误地得到相等=1。因此应对不匹配位做 OR 归约。