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Porte universali: costruire circuiti con sole NAND

Dimostrare costruttivamente la completezza funzionale di NAND e NOR e verificare i segnali intermedi di XOR.

Che cosa significa «qualsiasi circuito»

Con sole NAND si costruiscono NOT, AND e OR; qualunque funzione logica combinatoria con un numero finito di ingressi si può esprimere con queste operazioni. In questo senso NAND è una porta universale^{Porta universale Tipo di porta che, ripetuto, permette di costruire qualunque funzione booleana. NAND e NOR sono esempi tipici.}. Non significa che una NAND risolva da sola memoria, clock, interconnessioni e alimentazione.

\overline a=\operatorname{NAND}(a,a)

ab=\operatorname{NAND}(n,n),\quad n=\operatorname{NAND}(a,b)

a+b=\operatorname{NAND}(\operatorname{NAND}(a,a),\operatorname{NAND}(b,b))

Collegando lo stesso segnale ai due ingressi NAND si ottiene NOT. AND si ottiene invertendo^{Inversione NOT scambia 0 e 1. Una barra superiore applica NOT all’intera espressione sottostante. Approfondisci} di nuovo l'uscita NAND; OR applicando De Morgan^{De Morgan Negare un AND equivale all’OR degli ingressi negati; negare un OR equivale all’AND degli ingressi negati. Approfondisci}. Anche NOR produce NOT unendo gli ingressi, e costruzioni analoghe ne dimostrano l'universalità.

Costruire XOR con quattro NAND

Definite i segnali intermedi nell'ordine seguente:

n_0=\overline{ab},\quad n_1=\overline{a n_0},\quad n_2=\overline{b n_0},\quad y=\overline{n_1n_2}

a	b	n0	n1	n2	y
0	0	1	1	1	0
0	1	1	1	0	1
1	0	1	0	1	1
1	1	0	1	1	0

Costruire XOR con un segnale intermedio condiviso

Primo NAND: n0 = NAND(a, b)
Due NAND intermedi: n1 = NAND(a, n0); n2 = NAND(b, n0)
Ultimo NAND: y = NAND(n1, n2)

Le due NAND del secondo stadio sono in parallelo. Le porte totali sono quattro, ma il cammino logico più lungo ha tre stadi. In un modello semplice con al massimo 2 ns per porta, la somma massima del cammino è 6 ns. Gli effetti dei carichi e delle interconnessioni reali vanno considerati separatamente.

Confrontare il risultato dei quattro NAND con XOR

XOR · Tabella di verità
a	b	y
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	0

Compilate le quattro righe e confrontatele con XOR sopra. L'equivalenza funzionale confronta le uscite per tutti gli ingressi; non afferma che numero di porte o ritardo di propagazione^{Ritardo di propagazione Tempo dalla variazione d’ingresso all’assestamento corretto dell’uscita. Equivalenza logica e proprietà temporali sono distinte. Approfondisci} siano uguali.

Prova tu

Scrivete NOT e AND usando solo NOR. Quante porte e quanti stadi sul cammino più lungo richiede AND?

Leggi la spiegazione

NOT a=NOR(a, a). AND=NOR(NOR(a, a), NOR(b, b)). Due inversioni degli ingressi e una NOR finale danno tre porte totali e due stadi sul cammino più lungo.