8 / 37 · 概念

二補數、符號擴展與溢位

透過公式與反例，區分位元序列的 signed 解讀與加法溢位條件。

最高有效位元的權重改變了

$N$ 位元二補數^{二補數以固定寬度的位元序列表示帶符號整數。n 位元範圍為 −2^(n−1) 至 2^(n−1)−1。}整數解讀如下。

s=-b_{N-1}2^{N-1}+\sum_{i=0}^{N-2}b_i2^i

-2^{N-1}\le s\le 2^{N-1}-1

4 位元 1010 以 unsigned^{無符號（unsigned）將位元序列解讀為非負整數。n 位元範圍為 0 至 2^n−1；相同位元序列的帶符號解讀可能得到不同數值。詳細內容} 解讀為 10，以 signed 解讀為 −6；不是把符號位元拿掉，再將其餘部分當成絕對值。固定寬度下， $-x$ 可由位元反相^{反相是將 0 變為 1、1 變為 0 的 NOT 運算。公式上方的橫線表示對線下的整個運算式套用 NOT。詳細內容}再加 1 得到，但最小值 −8 對應的正數 +8 不在同樣的 4 位元 signed 範圍內。

擴展必須保留數值

unsigned 擴展在前方補 0，signed 擴展則補原本的符號位元。1010 變成 00001010 是 +10，變成 11111010 才是 −6。即使擴展相同位元，解讀方式不同，所需電路也不同。

SystemVerilog
logic signed [3:0] a, b;
logic signed [4:0] exact;
logic [3:0] result;
logic overflow;
assign exact = {a[3], a} + {b[3], b};
assign result = exact[3:0];
assign overflow = (a[3] == b[3]) && (result[3] != a[3]);

本例是兩個運算元、無 carry 輸入的 signed 加法。將 5 位元總和保留在 exact，再檢查縮窄結果的符號是否正確。

起始值設為 11111010。請確認 unsigned 250 與 signed −6 是同一位元序列；改變 b7 時，兩種解讀的數值會往不同方向變化。

相同 8 位元的符號解讀方式

11111010 → unsigned 250 · signed -6 · hex 0xFA

Carry 與 signed overflow 不同

V=\overline{a_{N-1}\oplus b_{N-1}}\,(s_{N-1}\oplus a_{N-1})

相同符號的數相加，結果卻變號，就是 overflow。4 位元的 $7+3$ 存成 1010，看起來是 −6； $-8+(-1)$ 存成 0111，看起來是 +7。兩個異號數相加不會發生這種超出範圍。

混合 signed 與 unsigned 的 RTL 運算式容易使比較、擴展規則混淆。請明確指定兩運算元的寬度與符號性，並將最小值、−1、0、最大值納入邊界測試。

自己試試看

求 4 位元 signed 的 $-3+(-4)$ 與 $5+5$ 所儲存的位元序列及 overflow，並說明 $-8$ 取負的結果。

查看解說

$-7$ 為 1001，沒有 overflow。10 超出範圍，存成 1010（−6），因此發生 overflow。−8 反相加 1 後仍留下 1000，因為同寬度無法表示 +8，不能將其當成正確的絕對值計算。