RC-Sprünge: Anfangswert, Endwert, Zeitkonstante

Drei Tatsachen bestimmen einen Sprung erster Ordnung

Bestimmen Sie bei einer linearen RC-Schaltung erster Ordnung die Kondensatorspannung unmittelbar vor der Änderung, ihre langfristige Endspannung und den vom Kondensator gesehenen Widerstand bei auf Null gesetzten unabhängigen Quellen. Die Zeitkonstante ist $\tau=R_{seen}C$. Die Antwort lautet $V_C(t)=V_f+(V_i-V_f)e^{-t/\tau}$. Diese Form behandelt Laden und Entladen ohne separate auswendig gelernte Formel.

Ein idealer 3.3-V-Sprung speist einen 10-kΩ-Widerstand und einen 100-nF-Kondensator nach Masse. Anfangs ist der Kondensator ungeladen. Endspannung ist 3.3 V und τ 1 ms. Bei 1 ms beträgt die Spannung $3.3(1-e^{-1})=2.085998$ V. Bei 5 ms ist sie 3.277765 V, etwa 99.326% des Endwerts. Die Spannung hat ihren Endwert auch nach fünf Zeitkonstanten mathematisch nicht erreicht.

Belastung verändert Endpunkt und Geschwindigkeit

Ergänzen Sie 10 kΩ Last parallel zum Kondensator. Die Endspannung ist jetzt 1.65 V. Bei kurzgeschlossener Quelle sieht der Kondensator zwei parallele 10-kΩ-Widerstände, daher wird τ 0.5 ms. Niedrigerer Endpunkt und schnelleres Einschwingen entstehen aus demselben zusätzlichen Zweig. τ = 1 ms nach Hinzufügen der Last beizubehalten wäre ein inkonsistentes Modell.

Bei Entladung von 3.3 V durch 10 kΩ ist der Endwert Null und dieselbe Zeitkonstante 1 ms gilt. Bei 1 ms behält der Kondensator 1.214002 V. Der Quellenübergang muss gegenüber τ kurz sein, damit die ideale Sprungnäherung genau ist.

Eine Einschwinganforderung übersetzen

Der verbleibende Fehleranteil ist $e^{-t/\tau}$. Innerhalb 1% zu gelangen erfordert $t\geq4.60517\tau$, etwa 4.61 ms im unbelasteten Beispiel. Dieser Fehler bezieht sich auf die Sprunghöhe und garantiert weder Instrumentenauflösung noch Bauteiltoleranz. Ein Messprotokoll sollte Endspannungsfehler und Zeitachse enthalten. Ist der tatsächliche Übergang langsam, vergleichen Sie mit der anliegenden Wellenform, statt einen augenblicklichen Sprung an die falsche Eingabe anzupassen.