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Zweierkomplement, Vorzeichenerweiterung und Overflow

Signed-Interpretation und Additionsoverflow durch Gleichungen und Gegenbeispiele unterscheiden.

Das höchstwertige Bit erhält ein anderes Gewicht

Eine $N$ -Bit-Zweierkomplementzahl^{Zweierkomplement Darstellung vorzeichenbehafteter Ganzzahlen mit fester Bitbreite. n Bit reichen von −2^(n−1) bis 2^(n−1)−1.} wird so interpretiert:

s=-b_{N-1}2^{N-1}+\sum_{i=0}^{N-2}b_i2^i

-2^{N-1}\le s\le 2^{N-1}-1

Die vier Bits 1010 bedeuten unsigned^{Unsigned Interpretation einer Bitfolge als nichtnegative Ganzzahl. Der n-Bit-Bereich ist 0 bis 2^n−1 und kann sich von der signed-Interpretation derselben Bits unterscheiden. Mehr erfahren} 10, signed −6. Man darf nicht das Vorzeichenbit abtrennen und den Rest als Betrag lesen. $-x$ entsteht bei fester Breite durch Bitinversion^{Inversion NOT vertauscht 0 und 1. Ein Überstrich wendet NOT auf den gesamten darunterstehenden Ausdruck an. Mehr erfahren} und Addition von 1; zum Minimum −8 existiert aber kein +8 im selben 4-Bit-signed-Bereich.

Erweiterung muss den Wert erhalten

Unsigned wird links mit Nullen erweitert, signed mit dem bisherigen Vorzeichenbit. Aus 1010 wird mit 00001010 der Wert +10, mit 11111010 der Wert −6. Dieselben Bits zu verbreitern verlangt je nach Interpretation unterschiedliche Schaltungen.

SystemVerilog
logic signed [3:0] a, b;
logic signed [4:0] exact;
logic [3:0] result;
logic overflow;
assign exact = {a[3], a} + {b[3], b};
assign result = exact[3:0];
assign overflow = (a[3] == b[3]) && (result[3] != a[3]);

Das Beispiel addiert zwei signed Operanden ohne carry-Eingang. exact bewahrt die 5-Bit-Summe; geprüft wird, ob das Vorzeichen des verkürzten Ergebnisses stimmt.

Der Startwert ist 11111010. Beachten Sie, dass unsigned 250 und signed −6 dieselben Bits haben. Das Umschalten von b7 verändert beide Interpretationen in entgegengesetzte Richtungen.

Das Vorzeichen derselben acht Bits interpretieren

11111010 → unsigned 250 · signed -6 · hex 0xFA

Carry und signed Overflow unterscheiden sich

V=\overline{a_{N-1}\oplus b_{N-1}}\,(s_{N-1}\oplus a_{N-1})

Werden gleichnamige Vorzeichen addiert und wechselt das Ergebnisvorzeichen, liegt Overflow vor. In vier Bit wird $7+3$ als 1010, also scheinbar −6, gespeichert; $-8+(-1)$ als 0111, scheinbar +7. Bei zwei verschieden vorzeichenbehafteten Zahlen entsteht diese Bereichsüberschreitung nicht.

Gemischte signed/unsigned-RTL-Ausdrücke erschweren Vergleichs- und Erweiterungsregeln. Geben Sie Breite und Vorzeichen beider Operanden explizit an und testen Sie Minimum, −1, 0 und Maximum.

Selbst ausprobieren

Bestimmen Sie gespeicherte Bits und Overflow für $-3+(-4)$ und $5+5$ in vier Bit signed. Erklären Sie auch die Negation von $-8$ .

Erklärung lesen

$-7$ ist 1001 ohne Overflow. 10 liegt außerhalb des Bereichs und wird als 1010 (−6) gespeichert: Overflow. Inversion von −8 plus 1 ergibt wieder 1000, da +8 nicht darstellbar ist. Dies darf nicht als korrekte Betragsberechnung verwendet werden.