진리표에서 논리식으로: 최소항·최대항·SOP·POS

진리표의 한 행만 선택하기

입력 순서를 $A,B,C$로 고정하고 A를 최상위 비트로 둡니다. 행 5는 ABC=101입니다. 이 행에서만 1이 되는 곱 항은 $m_5=A\overline B C$입니다. 모든 변수가 정확히 한 번 포함된 이런 항을 최소항(minterm)이라고 합니다. “게이트 수가 최소”라는 뜻은 아닙니다.

함수 $F$가 행 1·3·5·6·7에서 1이면 각 최소항^{i최소항 모든 입력 변수를 한 번씩 포함하며 특정 입력 조합에서만 1인 AND 항입니다. 출력이 1인 행의 최소항을 OR로 합칠 수 있습니다.}을 OR로 연결합니다.

이것은 곱의 합(SOP) 형태입니다. 표준 SOP에서는 각 항에 모든 변수가 들어갑니다. 일반 SOP는 생략된 변수가 있을 수 있습니다.

0인 행으로도 같은 함수를 만듭니다

행 2, ABC=010에서만 0이 되는 합 항은 $M_2=A+\overline B+C$입니다. 그 행에서 각 리터럴이 모두 0이 되도록 골랐습니다. 최대항^{i최대항 모든 입력 변수를 한 번씩 포함하며 특정 입력 조합에서만 0인 OR 항입니다. 출력이 0인 행의 최대항을 AND로 결합합니다.}(maxterm)은 특정 한 행을 0으로 만드는 OR 항입니다.

F가 0인 행은 0·2·4이므로 다음과 같이 합의 곱(POS)을 얻습니다.

Σ와 Π는 진리표^{i진리표 가능한 입력 조합을 빠짐없이 나열하고 각 조합의 출력을 적은 표입니다. 시간에 따른 변화는 파형으로 따로 확인합니다. 자세히 보기}의 행 번호 집합을 압축한 표기입니다. Σm에는 1인 행, ΠM에는 0인 행을 적습니다.

표준형은 출발점이고 간소화는 다음 단계입니다

위 함수는 $F=C+AB$로 줄어듭니다. C=1인 네 행이 한 묶음이고, C=0에서 남은 110은 AB로 덮습니다. 이 식에는 C가 없는 항 AB가 있으므로 표준 SOP는 아니지만 SOP입니다.

다음 카르노 맵 강의는 이 묶음을 시각적으로 찾는 방법입니다. 입력을 바꾸었을 때 없어지는 변수가 무엇인지 생각하면 규칙을 외우는 데서 벗어날 수 있습니다.

실습 · 같은 함수의 세 가지 표현 연결하기

위쪽 A·B·C 버튼은 관찰하는 입력만 바꿉니다. 맵 안의 0·1·X 버튼은 함수의 명세 자체를 바꿉니다. 두 조작을 구분하세요. 점선은 현재 입력, 파란 테두리는 선택한 곱 항이 덮는 셀입니다.

처음 함수에서 ABC=110을 만들면 F=1입니다. C=0이어도 AB 항이 1이기 때문입니다. 아래의 C 묶음과 A·B 묶음을 번갈아 누르고, m7이 두 묶음에 동시에 들어간다는 것을 확인하세요. 겹치는 셀을 두 번 포함해도 OR의 결과는 변하지 않습니다.

이제 m6의 출력을 두 번 눌러 1 → X → 0으로 바꿉니다. 마지막 함수는 C 하나로 표현됩니다. Σm에서는 6이 빠지고 ΠM에는 6이 추가되어야 합니다. X인 중간 상태는 그 행의 출력을 명세가 요구하지 않는 경우입니다. 입력이 가능하고 출력도 정해져 있다면 비용을 줄이려고 임의로 X로 바꾸면 안 됩니다.

Σm은 필수 1, ΠM은 필수 0, d는 무관한 행의 집합을 보여 줍니다. d가 비어 있지 않으면 Σm 또는 ΠM 하나만으로 완전한 진리표를 지정한 것이 아닙니다. 실습의 ‘최소 SOP’는 곱 항 수를 먼저, 같은 경우 리터럴 수를 줄인 식 중 하나이며 실제 게이트 면적의 최적해라는 뜻은 아닙니다.