Échelons RC : valeur initiale, valeur finale, constante de temps

Trois faits déterminent un échelon du premier ordre

Pour un circuit RC linéaire du premier ordre, identifiez la tension du condensateur juste avant le changement, sa tension finale à long terme et la résistance vue par le condensateur avec les sources indépendantes annulées. La constante de temps est $\tau=R_{seen}C$. La réponse est $V_C(t)=V_f+(V_i-V_f)e^{-t/\tau}$. Cette forme traite charge et décharge sans choisir une formule mémorisée différente.

Un échelon idéal de 3.3 V alimente une résistance de 10 kΩ et un condensateur de 100 nF à la masse. Le condensateur est initialement déchargé. La tension finale vaut 3.3 V et τ vaut 1 ms. À 1 ms, la tension vaut $3.3(1-e^{-1})=2.085998$ V. À 5 ms, elle vaut 3.277765 V, environ 99.326% de la valeur finale. La tension n’a pas mathématiquement atteint sa valeur finale, même après cinq constantes de temps.

La charge modifie l’arrivée et la vitesse

Ajoutez une charge de 10 kΩ en parallèle avec le condensateur. La tension finale devient 1.65 V. Avec la source court-circuitée, le condensateur voit deux résistances de 10 kΩ en parallèle : τ devient donc 0.5 ms. Une arrivée plus basse et un établissement plus rapide résultent de la même branche supplémentaire. Conserver τ = 1 ms après l’ajout de la charge serait un modèle incohérent.

Pour une décharge depuis 3.3 V dans 10 kΩ, la tension finale est zéro et la même constante de temps de 1 ms s’applique. À 1 ms, le condensateur conserve 1.214002 V. La transition de la source doit être courte par rapport à τ pour que l’approximation d’échelon idéal soit précise.

Traduire une exigence d’établissement

La fraction d’erreur restante est $e^{-t/\tau}$. Atteindre une erreur inférieure ou égale à 1% exige $t\geq4.60517\tau$, soit environ 4.61 ms dans l’exemple sans charge. Cette erreur est relative à l’amplitude de l’échelon et ne garantit ni la résolution de l’instrument ni la tolérance des composants. Un relevé de mesure doit inclure l’erreur de tension finale et l’axe temporel. Si la transition réelle est lente, comparez à la forme d’onde appliquée au lieu d’ajuster un échelon instantané à la mauvaise entrée.