真理値表から論理式へ：最小項・最大項・SOP・POS

真理値表の一行だけを選ぶ

入力順を $A,B,C$ に固定し、A を最上位ビットとします。行 5 は ABC=101 です。この行だけで 1 になる積項は $m_5=A\overline B C$ です。すべての変数をちょうど一度ずつ含む項を最小項（minterm）と呼びます。「ゲート数が最小」という意味ではありません。

関数 $F$ が行 1・3・5・6・7 で 1 なら、それぞれの最小項^{i最小項 すべての入力変数を一度ずつ含み、特定の入力組合せだけで 1 になる AND 項です。出力が 1 の行の最小項を OR で結合できます。}を OR で結合します。

これは積の和（SOP）の形です。標準 SOP では各項にすべての変数が入ります。一般の SOP では、一部の変数が省略される場合があります。

0 の行からも同じ関数を作れます

行 2、ABC=010 だけで 0 になる和項は $M_2=A+\overline B+C$ です。その行で各リテラルがすべて 0 になるように選んでいます。最大項^{i最大項 すべての入力変数を一度ずつ含み、特定の入力組合せだけで 0 になる OR 項です。出力が 0 の行の最大項を AND で結合します。}（maxterm）は、特定の一行だけを 0 にする OR 項です。

F が 0 の行は 0・2・4 なので、次の和の積（POS）が得られます。

Σ と Π は真理値表^{i真理値表 可能な入力組合せをすべて列挙し、各組合せの出力を記した表です。時間に伴う変化は波形で別途確認します。 詳しく見る}の行番号の集合を簡潔に表す記法です。Σm には 1 の行、ΠM には 0 の行を記します。

標準形が出発点、簡単化は次の段階

上の関数は $F=C+AB$ に簡単化できます。C=1 の四行を一つにまとめ、C=0 で残る 110 を AB で覆います。AB は C を含まない項なので、この式は SOP ですが標準 SOP ではありません。

次のカルノー図の講義では、入力を変えたときにどの変数が消えるかに注目して、このまとまりを視覚的に探します。

実習 · 同じ関数の三つの表現を結び付ける

上部の A・B・C ボタンは観測する入力だけを変えます。マップ内の 0・1・X ボタンは関数の仕様そのものを変えます。この二つを区別してください。点線は現在の入力、青い枠は選択した積項が覆うセルです。

最初の関数で ABC=110 にすると F=1 です。C=0 でも AB 項が 1 だからです。下の C のグループと A·B のグループを交互に押し、m7 が両方に含まれることを確認します。同じセルを二度含めても OR の結果は変わりません。

次に m6 の出力を二度押し、1 → X → 0 と変えます。最終的な関数は C 一つで表せます。Σm から 6 が消え、ΠM に 6 が加わるはずです。途中の X は、その行の出力を仕様が要求しない状態です。入力が発生し得て出力も決まっているなら、コスト削減のために勝手に X にしてはいけません。

Σm は必須の 1、ΠM は必須の 0、d はドントケアの行の集合を表します。d が空でなければ、Σm または ΠM だけでは完全な真理値表を指定したことになりません。実習の「最小 SOP」は、まず積項数、同数ならリテラル数を最小化した式の一つであり、実ゲート面積の最適解を意味しません。