Фиксированная точка, округление и насыщение

Предварительные знания: ширины знакового сложения и умножения, арифметический правый сдвиг и overflow.

Положение точки — контракт интерпретации битов

Фиксированная точка^{iФиксированная точка — представление чисел с заранее заданным положением двоичной точки: к целочисленной битовой последовательности применяют постоянный масштаб. Нужно задать разрядность, знаковость и число дробных разрядов.} интерпретирует целое X как $x=X2^{-F}$. Отдельный бит десятичной точки в оборудовании не хранится. Здесь полная signed-ширина W включает знак, F — число дробных битов. В литературе Q-обозначение по-разному включает знак в целую часть, поэтому явные W,F в интерфейсе однозначнее.

При W=8,F=4 шаг 1/16, диапазон −8…7.9375. 0x18 в таком контракте означает 1.5, а не целое 24. При F=3 те же 0x18 означают 3. Соединённые проводники не гарантируют совпадения числового смысла; документируйте масштаб каждого порта.

Перед сложением выравнивают точки. При разных F расширьте значение с меньшим F и сдвиньте влево либо уменьшите больший F заданным округлением. Точная сумма двух одинаковых W,F требует W+1 бит и того же F. При умножении перемножают raw-целые, а числа дробных битов складывают.

Полное произведение двух 8-битных F=4 — signed 16 бит F=8. Для выхода 8 бит F=4 сначала удаляют четыре дробных бита, затем проверяют signed-диапазон. Если сначала усечь произведение до 8 бит, последующее насыщение уже не сможет определить исходную величину.

Отбрасывание и округление различаются

Арифметический сдвиг на d бит даёт $q=\lfloor P/2^d\rfloor$; отрицательные числа тоже округляются вниз. При $P=-24,d=4$ точное частное −1.5, q=−2, что отличается от усечения к нулю. Нельзя считать, что выбор старших битов имеет для отрицательных ту же ошибку, что для положительных.

Спроектируем round-to-nearest, ties-to-even: к ближайшему, при точной середине — к чётному целому. Старший отбрасываемый бит — guard g, OR остальных — sticky t, младший сохраняемый бит q — l.

При g=0 остаток меньше половины, ничего не меняем. При g=1,t=1 — больше половины, увеличиваем. При g=1,t=0 — точная половина, добавляем 1 только к нечётному q. Для отрицательных правило то же: с нижним частным q остаток $r=P-q2^d$ всегда удовлетворяет $0\le r<2^d$.

Например, −24/16=−1.5 округляется к −2, поскольку q=−2 чётно; −40/16=−2.5 тоже к −2, поскольку q=−3 нечётно. Отдельное правило «для отрицательных всегда вычитать 1» ошибочно. Без насыщения конечная числовая ошибка не больше половины выходного LSB^{iLSB — бит с наименьшим позиционным весом. Проверяйте одновременно направление записи и правила индексации. Подробнее}. Ties-to-even не гарантирует нулевую среднюю ошибку любого распределения, но уменьшает смещение, возникающее при округлении всех значений ровно посередине в одну сторону.

Преобразуем raw P=2040 из 16 бит F=8 в 8 бит F=4. 127.5 округляется к чётному 128, затем ограничивается signed-максимумом 127. Расширенную ширину нужно сохранять до последней записи.

Насыщение после завершения округления

Насыщение заменяет значения выше максимума максимумом, а ниже минимума — минимумом. В отличие от wrap большое положительное не превращается в отрицательное. Но корректно насытить уже суженное и перешедшее через границу диапазона значение нельзя.

Ниже полный комбинационный модуль signed 16 бит F=8 → signed 8 бит F=4. При фиксированном d=4 guard=p[3], sticky=p[2:0]. Увеличение для округления и сравнение диапазона выполняются в 17-битном signed-пространстве; 8 бит выбираются только в конце.

module requantize (
  input  logic signed [15:0] p,
  output logic signed [7:0] y,
  output logic saturated
);
  logic signed [16:0] wide, q, rounded;
  logic inc;
  always_comb begin
    wide = {p[15], p};
    q = wide >>> 4;
    inc = p[3] & ((|p[2:0]) | q[0]);
    rounded = q + (inc ? 17'sd1 : 17'sd0);
    saturated = 1'b0;
    if (rounded > 17'sd127) begin
      y = 8'sh7f;
      saturated = 1'b1;
    end else if (rounded < -17'sd128) begin
      y = 8'sh80;
      saturated = 1'b1;
    end else begin
      y = rounded[7:0];
    end
  end
endmodule

При P=2040 частное P/16=127.5 округляется к чётному 128 и насыщается до 127. Конечное значение — 7.9375. Проверка только q=127 до округления пропустила бы переполнение. Saturated сообщает ограничение числового диапазона, а не просто потерю дробных битов.

При обобщении отдельно обрабатывайте d=0 без отбрасываемых битов и d=1 без области sticky. Скрытие недопустимого part-select внутри условия может не устранить ошибку elaboration.

Округление и насыщение добавляют сумматоры, компараторы, MUX^{iМультиплексор — комбинационная схема, соединяющая один из нескольких входов с выходом по сигналу выбора. Соответствие битов выбора и номеров входов должно быть задано явно. Подробнее} и задержку и выбираются отдельными политиками. Такое разделение отражено и в документации AMD о фиксированной точке. При накоплении нескольких членов заранее решите, сохранять ли промежуточную ширину и преобразовывать один раз в конце. Поэтапное насыщение может нарушить ассоциативность сложения, а повторное округление — накапливать малые ошибки.